Pähkinäpensaan luontainen levinneisyysalue kattaa Aasian luoteisosat ja Euroopan aina Välimeren rannikolta Keski-Skandinaviaan ja Suomen rannikolle. Suomessa se kasvaa runsasravinteisissa lehti- ja sekametsissä. Se suosii rinteitä ja kallioiden alustoja ja viihtyy lehtometsien suojissa.
Sarvipähkinän nimi tulee pähkinän kuoren suojuksen sarvimaisesta muodosta. Latinan sana cornus tarkoittaa sarvea. Pähkinät ovat kookkaampia kuin kotimaisella pähkinäpensaallamme (Corylus avellana) ja maukkaita, ja niistä ovat ihmisten lisäksi kiinnostuneita myös oravat. Poimijoiden kiusaksi pähkinää ympäröivässä suojuksessa on pistävää karvoitusta.
Turkinpähkinä kasvaa kotimaisesta pähkinäpensaasta poiketen isoksi, yksirunkoiseksi ja latvukseltaan säännöllisen kartiomaiseksi puuksi. Kaarna on kauniin korkkimainen ja korkkia muodostuu myös oksiin, jotka kesällä kuitenkin jäävät tuuhean, kauniin peittävän lehdistön alle. Syksyllä kypsyvät syötävät mutta kovin pienet pähkinät ovat tiiviinä 3–8 pähkinän rykelmänä, jokainen kapealiuskaisen suojuksen ympäröimänä.
Pohjois-Amerikan itäosista kotoisin oleva amerikanpähkinäpensas on kotimaista euroopanpähkinäpensasta (C. avellana) pienempi, leveäkasvuinen ja runsasrunkoinen pensas. Lehdet ovat pienemmät kuin euroopanserkulla ja syysväriltään näyttävä yhdistelmä kellanvihreää, keltaista, oranssia, ruusunpunaista ja purppuranpunaista.
Pähkinäpensas on metsiemme aarteita, jonka viljelyn soisi nykyisestään yleistyvän. Suurin osa suomalaisista tuntee pähkinäpensaan pähkinät eli hasselpähkinän paremmin kuin itse pensaan. Pähkinät tuodaan meille yleensä etelämpää Euroopasta, mutta toki Lounais-Suomen ja saariston pähkinäpensasalueilla hasselilla on pitkät hyödyntämisperinteet, menneinä vuosikymmeninä myös kaupallisesti. Pähkinäpensas on Euroopassa levinnyt laajalle alueelle.